How to formulate the Minimum Spanning Tree problem as a MIP

> How can I solve a Minimum Spanning Tree problem with GAMS?

It is possible to implement an algorithm in GAMS (Prim, Kruskal, see model library model mst.gms). It is also possible to formulate a MIP. There are several formulations (see Magnanti, Wolsey, “Optimal Trees”, in Network Models, volume 7, Handbooks of Operations Research, 1995). If the graph is planar, there is a formulation described in Justin C. Williams, “A linear-size zero - one programming model for the minimum spanning tree problem in planar graphs”, Networks, 39(1), 2002.

Here is one of the flow formulations mst.gms.

$ontext    Flow formulation of minimum spanning tree problem.    This is MIP but automatically integer so we solve as RMIP.    Erwin Kalvelagen, april, 2002, revised 2009    References:      Magnanti, Thomas L.; Wolsey, Laurence A., "Optimal Trees",      in M.O. Ball, T.L. Magnanti, C.L. Monma, and G.L. Nemhauser, editors,      Network Models, volume 7 of Handbooks in Operations Research and Management Science,      Chapter 9, pages 503--616. North-Holland, 1995. $offtext set i cities /  c1  'Manchester, N.H.'  c2  'Montpelier, Vt.'  c3  'Detroit, Mich.'  c4  'Cleveland, Ohio'  c5  'Charleston, W.Va.'  c6  'Louisville, Ky.'  c7  'Indianapolis, Ind.'  c8  'Chicago, Ill.'  c9  'Milwaukee, Wis.'  c10 'Minneapolis, Minn.'  c11 'Pierre, S.D.'  c12 'Bismarck, N.D.'  c13 'Helena, Mont.'  c14 'Seattle, Wash.'  c15 'Portland, Ore.'  c16 'Boise, Idaho'  c17 'Salt Lake City, Utah'  c18 'Carson City, Nevada'  c19 'Los Angeles, Calif.'  c20 'Phoenix, Ariz.'  c21 'Santa Fe, N.M.'  c22 'Denver, Colo.'  c23 'Cheyenne, Wyo.'  c24 'Omaha, Neb.'  c25 'Des Moines, Iowa'  c26 'Kansas City, Mo.'  c27 'Topeka, Kans.'  c28 'Oklahoma City, Okla.'  c29 'Dallas, Tex.'  c30 'Little Rock, Ark.'  c31 'Memphis, Tenn.'  c32 'Jackson, Miss.'  c33 'New Orleans, La.'  c34 'Birmingham, Ala.'  c35 'Atlanta, Ga.'  c36 'Jacksonville, Fla.'  c37 'Columbia, S.C.'  c38 'Raleigh, N.C.'  c39 'Richmond, Va.'  c40 'Washington, D.C.'  c41 'Boston, Mass.'  c42 'Portland, Me.' /; alias (i,j,k); table d(i,j)      c1  c2  c3  c4  c5  c6  c7  c8  c9 c10 c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17 c18 c19 c20 c21 c2    8 c3   39  45 c4   37  47   9 c5   50  49  21  15 c6   61  62  21  20  17 c7   58  60  16  17  18   6 c8   59  60  15  20  26  17  10 c9   62  66  20  25  31  22  15   5 c10  81  81  40  44  50  41  35  24  20 c11 103 107  62  67  72  63  57  46  41  23 c12 108 117  66  71  77  68  61  51  46  26  11 c13 145 149 104 108 114 106  99  88  84  63  49  40 c14 181 185 140 144 150 142 135 124 120  99  85  76  35 c15 187 191 146 150 156 142 137 130 125 105  90  81  41  10 c16 161 170 120 124 130 115 110 104 105  90  72  62  34  31  27 c17 142 146 101 104 111  97  91  85  86  75  51  59  29  53  48  21 c18 174 178 133 138 143 129 123 117 118 107  83  84  54  46  35  26  31 c19 185 186 142 143 140 130 126 124 128 118  93 101  72  69  58  58  43  26 c20 164 165 120 123 124 106 106 105 110 104  86  97  71  93  82  62  42  45  22 c21 137 139  94  96  94  80  78  77  84  77  56  64  65  90  87  58  36  68  50  30 c22 117 122  77  80  83  68  62  60  61  50  34  42  49  82  77  60  30  62  70  49  21 c23 114 118  73  78  84  69  63  57  59  48  28  36  43  77  72  45  27  59  69  55  27 c24  85  89  44  48  53  41  34  28  29  22  23  35  69 105 102  74  56  88  99  81  54 c25  77  80  36  40  46  34  27  19  21  14  29  40  77 114 111  84  64  96 107  87  60 c26  87  89  44  46  46  30  28  29  32  27  36  47  78 116 112  84  66  98  95  75  47 c27  91  93  48  50  48  34  32  33  36  30  34  45  77 115 110  83  63  97  91  72  44 c28 105 106  62  63  64  47  46  49  54  48  46  59  85 119 115  88  66  98  79  59  31 c29 111 113  69  71  66  51  53  56  61  57  59  71  96 130 126  98  75  98  85  62  38 c30  91  92  50  51  46  30  34  38  43  49  60  71 103 141 136 109  90 115  99  81  53 c31  83  85  42  43  38  22  26  32  36  51  63  75 106 142 140 112  93 126 108  88  60 c32  89  91  55  55  50  34  39  44  49  63  76  87 120 155 150 123 100 123 109  86  62 c33  95  97  64  63  56  42  49  56  60  75  86  97 126 160 155 128 104 128 113  90  67 c34  74  81  44  43  35  23  30  39  44  62  78  89 121 159 155 127 108 136 124 101  75 c35  67  69  42  41  31  25  32  41  46  64  83  90 130 164 160 133 114 146 134 111  85 c36  74  76  61  60  42  44  51  60  66  83 102 110 147 185 179 155 133 159 146 122  98 c37  57  59  46  41  25  30  36  47  52  71  93  98 136 172 172 148 126 158 147 124 121 c38  45  46  41  34  20  34  38  48  53  73  96  99 137 176 178 151 131 163 159 135 108 c39  35  37  35  26  18  34  36  46  51  70  93  97 134 171 176 151 129 161 163 139 118 c40  29  33  30  21  18  35  33  40  45  65  87  91 117 166 171 144 125 157 156 139 113 c41   3  11  41  37  47  57  55  58  63  83 105 109 147 186 188 164 144 176 182 161 134 c42   5  12  55  41  53  64  61  61  66  84 111 113 150 186 192 166 147 180 188 167 140 +     c22 c23 c24 c25 c26 c27 c28 c29 c30 c31 c32 c33 c34 c35 c36 c37 c38 c39 c40 c41 c23   5 c24  32  29 c25  40  37   8 c26  36  39  12  11 c27  32  36   9  15   3 c28  36  42  28  33  21  20 c29  47  53  39  42  29  30  12 c30  61  62  36  34  24  28  20  20 c31  64  66  39  36  27  31  28  28   8 c32  71  78  52  49  39  44  35  24  15  12 c33  76  82  62  59  49  53  40  29  25  23  11 c34  79  81  54  50  42  46  43  39  23  14  14  21 c35  84  86  59  52  47  51  53  49  32  24  24  30   9 c36 105 107  79  71  66  70  70  60  48  40  36  33  25  18 c37  97  99  71  65  59  63  67  62  46  38  37  43  23  13  17 c38 102 103  73  67  64  69  75  72  54  46  49  54  34  24  29  12 c39 102 101  71  65  65  70  84  78  58  50  56  62  41  32  38  21   9 c40  95  97  67  60  62  67  79  82  62  53  59  66  45  38  45  27  15   6 c41 119 116  86  78  84  88 101 108  88  80  86  92  71  64  71  54  41  32  25 c42 124 119  90  87  90  94 107 114  77  86  92  98  80  74  77  60  48  38  32   6 ; table xy(i,*) coordinates          x    y   c1   170.0  85.0   c2   166.0  88.0   c3   133.0  73.0   c4   140.0  70.0   c5   142.0  55.0   c6   126.0  53.0   c7   125.0  60.0   c8   119.0  68.0   c9   117.0  74.0  c10    99.0  83.0  c11    73.0  79.0  c12    72.0  91.0  c13    37.0  94.0  c14     6.0 106.0  c15     3.0  97.0  c16    21.0  82.0  c17    33.0  67.0  c18     4.0  66.0  c19     3.0  42.0  c20    27.0  33.0  c21    52.0  41.0  c22    57.0  59.0  c23    58.0  66.0  c24    88.0  65.0  c25    99.0  67.0  c26    95.0  55.0  c27    89.0  55.0  c28    83.0  38.0  c29    85.0  25.0  c30   104.0  35.0  c31   112.0  37.0  c32   112.0  24.0  c33   113.0  13.0  c34   125.0  30.0  c35   135.0  32.0  c36   147.0  18.0  c37   147.5  36.0  c38   154.5  45.0  c39   157.0  54.0  c40   158.0  61.0  c41   172.0  82.0  c42   174.0  87.0 ; display xy; alias(i,t); set s(i) 'source node (can be any node)' /c40/; set term(i) 'terminal nodes'; term(i)$(not s(i)) = yes; parameter c(i,j) 'cost directed arcs'; c(i,j) = d(i,j) + d(j,i); set links(i,j); links(i,j)$c(i,j) = yes; parameter b(i,t) 'right-hand side'; b(s,term) = -1; b(term,term) = 1; variables    z         'objective'    x(i,j)    '0-1 variable indicating tree'    y(i,j,t)  'flow variables (last index is terminal node)' ; binary variable x,y; equations    objective      'minimize total cost'    nodebal(i,t)   'node balance'    compare(i,j,t) 'force x(i,j)>=y(i,j,t)' ; objective..    z =e= sum(links, c(links)*x(links)); nodebal(i,term(t))..  sum(links(i,j), y(i,j,t)) - sum(links(j,i), y(j,i,t)) =e= b(i,t); compare(links(i,j),term(t)).. x(i,j) =g= y(i,j,t); option iterlim=100000; model m /all/; solve m minimizing z using rmip; display y.l, x.l; parameter tree(i,*); loop((i,j)$(x.l(i,j)>0.5),    tree(i,'x0') = xy(i,'x');    tree(i,'y0') = xy(i,'y');    tree(i,'x1') = xy(j,'x');    tree(i,'y1') = xy(j,'y'); ); display tree;

As the MIP is automatically integer (total unimodularity) we can solve as an RMIP. This is a big LP however: for a 42 city problem with all edges i → j allowed, I get:

MODEL STATISTICS

BLOCKS OF EQUATIONS           3     SINGLE EQUATIONS       72,325
BLOCKS OF VARIABLES           3     SINGLE VARIABLES       72,325
NON ZERO ELEMENTS       284,131     DISCRETE VARIABLES     72,324

PS: I believe the model mst.gms from the model library is incorrect. The assignment mst(a,u,ip)$(dmin eq darc(a,u)) = ord(s); should be changed so that if multiple arcs (a,u) have length dmin, only one is chosen. A corrected version for the above instance is mst2.gms. The fix was needed for this data set: without it a suboptimal tree was returned: obj=662 instead of obj=591 (as demonstrated by msterr.gms). This is another good reason to implement this as an LP: to debug algorithms.